MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Într-o progresie geometrică, suma primilor trei termeni este 26, iar suma pătratelor acestora este 364. Aflați rația progresiei și primul termen.

Rezolvare completă

10 puncte · 10 pași
11 punct
Notează primul termen aa și rația qq.
21 punct
Scrie ecuațiile a+aq+aq2=26a + aq + aq^2 = 26 și a2+a2q2+a2q4=364a^2 + a^2 q^2 + a^2 q^4 = 364.
31 punct
Din prima ecuație, exprimă a=26/(1+q+q2)a = 26 / (1+q+q^2).
41 punct
Substituie în a doua ecuație și obține (261+q+q2)2(1+q2+q4)=364\left( \frac{26}{1+q+q^2} \right)^2 (1+q^2+q^4) = 364.
51 punct
Simplifică la 169(1+q2+q4)=91(1+q+q2)2169(1+q^2+q^4) = 91(1+q+q^2)^2.
61 punct
Folosește identitatea 1+q2+q4=(1+q+q2)(1−q+q2)1+q^2+q^4 = (1+q+q^2)(1-q+q^2).
71 punct
Obține ecuația 1−q+q21+q+q2=91169\frac{1-q+q^2}{1+q+q^2} = \frac{91}{169}.
81 punct
Rezolvă 169(1−q+q2)=91(1+q+q2)169(1-q+q^2) = 91(1+q+q^2) și ajungi la 3q2−10q+3=03q^2 - 10q + 3 = 0.
91 punct
Soluțiile sunt q=3q = 3 și q=13q = \frac{1}{3}; pentru fiecare, calculează aa din a=26/(1+q+q2)a = 26/(1+q+q^2).
101 punct
Prezintă rezultatele: pentru q=3q=3, a=2a=2; pentru q=13q=\frac{1}{3}, a=18a=18.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.