MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciGrupuri
Pe mulțimea matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale, M2(R)M_{2}(\mathbb{R}), se definește legea de compoziție ∘\circ prin A∘B=A⋅B+B⋅AA \circ B = A \cdot B + B \cdot A, unde ⋅\cdot denotă înmulțirea obișnuită a matricelor. a) Studiați comutativitatea legii ∘\circ. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru matricea A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, aflați inversul său în raport cu legea ∘\circ, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a studia comutativitatea, se calculează A∘B=A⋅B+B⋅AA \circ B = A \cdot B + B \cdot A și B∘A=B⋅A+A⋅BB \circ A = B \cdot A + A \cdot B. Deoarece adunarea matricelor este comutativă, A∘B=B∘AA \circ B = B \circ A, deci legea ∘\circ este comutativă.
24 puncte
Fie EE elementul neutru. Atunci A∘E=A⋅E+E⋅A=AA \circ E = A \cdot E + E \cdot A = A pentru orice A∈M2(R)A \in M_{2}(\mathbb{R}). Pentru A=I2A = I_2 (matricea identitate), avem I2∘E=I2⋅E+E⋅I2=E+E=2E=I2I_2 \circ E = I_2 \cdot E + E \cdot I_2 = E + E = 2E = I_2, deci E=12I2E = \frac{1}{2} I_2. Verificând pentru o matrice oarecare AA, A∘12I2=A⋅12I2+12I2⋅A=12A+12A=AA \circ \frac{1}{2} I_2 = A \cdot \frac{1}{2} I_2 + \frac{1}{2} I_2 \cdot A = \frac{1}{2} A + \frac{1}{2} A = A, deci elementul neutru este E=12I2E = \frac{1}{2} I_2.
33 puncte
Pentru matricea A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, se caută BB astfel încât A∘B=E=12I2A \circ B = E = \frac{1}{2} I_2. Ecuația A⋅B+B⋅A=12I2A \cdot B + B \cdot A = \frac{1}{2} I_2 este un sistem liniar în elementele lui BB. Notând B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, se obține sistemul: {2a+2c=122b+2d+2a=02c=02d+2c=12\begin{cases} 2a + 2c = \frac{1}{2} \\ 2b + 2d + 2a = 0 \\ 2c = 0 \\ 2d + 2c = \frac{1}{2} \end{cases}. Din a treia ecuație, c=0c=0. Atunci din prima, 2a=122a = \frac{1}{2}, deci a=14a = \frac{1}{4}. Din a patra, 2d=122d = \frac{1}{2}, deci d=14d = \frac{1}{4}. Din a doua, 2b+2d+2a=0⇒2b+12+12=0⇒2b+1=0⇒b=−122b + 2d + 2a = 0 \Rightarrow 2b + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow 2b + 1 = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}. Deci B=(14−12014)B = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} este inversul lui AA.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.