MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} o progresie geometrică de numere reale pozitive cu rația qq. Știind că x1+x2+x3=21x_1 + x_2 + x_3 = 21 și x12+x22+x32=189x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 189, determinați rația qq și primul termen x1x_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm x1=ax_1 = a, x2=aqx_2 = a q, x3=aq2x_3 = a q^2, cu a>0a > 0, q>0q > 0.
23 puncte
Formăm sistemul de ecuații: a(1+q+q2)=21a(1 + q + q^2) = 21 și a2(1+q2+q4)=189a^2(1 + q^2 + q^4) = 189.
33 puncte
Din prima ecuație, a=211+q+q2a = \frac{21}{1+q+q^2}. Substituim în a doua ecuație: (211+q+q2)2(1+q2+q4)=189\left( \frac{21}{1+q+q^2} \right)^2 (1+q^2+q^4) = 189. Simplificăm la 7(1+q2+q4)=3(1+q+q2)27(1+q^2+q^4) = 3(1+q+q^2)^2. Dezvoltăm și obținem 2q4−3q3−q2−3q+2=02q^4 - 3q^3 - q^2 - 3q + 2 = 0, care se factorizează ca (q−2)(2q−1)(q2+q+1)=0(q-2)(2q-1)(q^2+q+1)=0. Soluțiile reale pozitive sunt q=2q=2 și q=12q=\frac{1}{2}.
42 puncte
Pentru q=2q=2, din a(1+2+4)=21a(1+2+4)=21 rezultă a=3a=3. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, din a(1+12+14)=21a\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=21 rezultă a=12a=12. Soluțiile sunt: (q=2,x1=3)(q=2, x_1=3) și (q=12,x1=12)(q=\frac{1}{2}, x_1=12).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.