MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡(x)f(x) = e^{-x} \sin(x). a) Calculați f′(x)f'(x) și f′′(x)f''(x). b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. c) Verificați că f′′(x)+2f′(x)+2f(x)=0f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata întâi: f′(x)=−e−xsin⁡(x)+e−xcos⁡(x)=e−x(cos⁡(x)−sin⁡(x))f'(x) = -e^{-x} \sin(x) + e^{-x} \cos(x) = e^{-x}(\cos(x) - \sin(x)). Apoi derivata a doua: f′′(x)=−e−x(cos⁡(x)−sin⁡(x))+e−x(−sin⁡(x)−cos⁡(x))=e−x(−2cos⁡(x))f''(x) = -e^{-x}(\cos(x) - \sin(x)) + e^{-x}(-\sin(x) - \cos(x)) = e^{-x}(-2\cos(x)). \
24 puncte
Pentru monotonie, rezolvăm f′(x)=0⇒cos⁡(x)−sin⁡(x)=0⇒tan⁡(x)=1⇒x=π4+kπ,k∈Zf'(x) = 0 \Rightarrow \cos(x) - \sin(x) = 0 \Rightarrow \tan(x) = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}. Studiem semnul lui f′(x)f'(x) pe intervalele determinate de aceste puncte, de exemplu pentru k=0k=0 și k=1k=1, pentru a deduce intervalele de creștere și descreștere și punctele de extrem. \
33 puncte
Verificăm identitatea: f′′(x)+2f′(x)+2f(x)=e−x(−2cos⁡(x))+2e−x(cos⁡(x)−sin⁡(x))+2e−xsin⁡(x)=e−x(−2cos⁡(x)+2cos⁡(x)−2sin⁡(x)+2sin⁡(x))=0f''(x) + 2f'(x) + 2f(x) = e^{-x}(-2\cos(x)) + 2e^{-x}(\cos(x) - \sin(x)) + 2e^{-x} \sin(x) = e^{-x}(-2\cos(x) + 2\cos(x) - 2\sin(x) + 2\sin(x)) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.