MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateStudiul funcțiilorAsimptote
Fie funcția f:R∖{−1,1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2x2−1f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}. Determinați: a) Asimptotele funcției. b) Intervalele de monotonie și punctele de extrem. c) Intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. d) Reprezentarea grafică a funcției (schiță pe baza informațiilor obținute).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculul limitelor pentru asimptote: lim⁡x→±∞f(x)=1\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 (asimptotă orizontală y=1y=1), lim⁡x→−1−f(x)=+∞\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, lim⁡x→−1+f(x)=−∞\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty, lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty (asimptote verticale x=−1x=-1 și x=1x=1).
22 puncte
Derivata întâi: f′(x)=2x(x2−1)−x2⋅2x(x2−1)2=−2x(x2−1)2f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}. Studiem semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x<0x < 0 și x≠−1x \neq -1, deci ff este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și (−1,0)(-1, 0); f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>0x > 0 și x≠1x \neq 1, deci ff este descrescătoare pe (0,1)(0, 1) și (1,∞)(1, \infty). Punct de maxim local în x=0x=0, f(0)=0f(0)=0.
32 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=−2(x2−1)2+8x2(x2−1)(x2−1)4=2(3x2+1)(x2−1)3f''(x) = \frac{-2(x^2-1)^2 + 8x^2(x^2-1)}{(x^2-1)^4} = \frac{2(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}. Semnul depinde de (x2−1)3(x^2-1)^3: pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), (x2−1)3>0(x^2-1)^3 > 0, deci f′′(x)>0f''(x) > 0 (funcția este convexă); pentru x∈(−1,1)x \in (-1, 1), (x2−1)3<0(x^2-1)^3 < 0, deci f′′(x)<0f''(x) < 0 (funcția este concavă). Nu există puncte de inflexiune deoarece f′′(x)≠0f''(x) \neq 0 pe domeniu.
42 puncte
Concluzii asimptote: asimptotă orizontală y=1y=1, asimptote verticale x=−1x=-1 și x=1x=1; nu există asimptote oblice.
52 puncte
Schița graficului: se trasează asimptotele, se marchează punctul de maxim (0,0)(0,0), se indică comportamentul funcției pe intervalele de monotonie și convexitate/concavitate, cu aproximarea graficului în vecinătatea asimptotelor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.