MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitive
Fie funcția f(x)=2x+1x2+4f(x) = \frac{2x+1}{x^2 + 4}. Calculați ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx și arătați că valoarea integralei este ln⁡(5)+12arctan⁡(12)\ln(\sqrt{5}) + \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Descompuneți funcția f(x)f(x) ca 2xx2+4+1x2+4\frac{2x}{x^2+4} + \frac{1}{x^2+4} pentru a facilita integrarea.
23 puncte
Găsiți primitivele: pentru 2xx2+4\frac{2x}{x^2+4}, folosiți substituția u=x2+4u = x^2+4, iar pentru 1x2+4\frac{1}{x^2+4}, recunoașteți forma care dă 12arctan⁡(x2)\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right).
32 puncte
Calculați integrala definită ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx aplicând limitele de integrare la primitivele obținute.
42 puncte
Simplificați rezultatul, folosind proprietăți ale logaritmilor și arc-tangentei, pentru a verifica egalitatea cu ln⁡(5)+12arctan⁡(12)\ln(\sqrt{5}) + \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{1}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.