MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă care este înscris în elipsa de ecuație x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimarea ariei dreptunghiului: Fie (x,y)(x, y) un vârf în primul cadran, atunci aria A=4xyA = 4xy. Din ecuația elipsei, y=b1−x2a2y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}, deci A(x)=4bx1−x2a2A(x) = 4bx\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}, cu x∈[0,a]x \in [0, a].
23 puncte
Calculul derivatei: A′(x)=4b(1−x2a2+x⋅121−x2a2⋅(−2xa2))=4b1−2x2a21−x2a2A'(x) = 4b\left( \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \left(-\frac{2x}{a^2}\right) \right) = 4b \frac{1 - \frac{2x^2}{a^2}}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}.
32 puncte
Găsirea punctelor critice: A′(x)=0⇒1−2x2a2=0⇒x=a2A'(x)=0 \Rightarrow 1 - \frac{2x^2}{a^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{\sqrt{2}} (pentru că x∈[0,a]x \in [0, a]). Verificarea că este maxim folosind semnul derivatei sau derivata a doua.
42 puncte
Determinarea dimensiunilor: Pentru x=a2x = \frac{a}{\sqrt{2}}, y=b1−12=b2y = b\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}}. Deci dimensiunile dreptunghiului sunt 2x=a22x = a\sqrt{2} și 2y=b22y = b\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.