MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe se definește legea de compoziție ⋄\diamond prin z⋄w=z+w+i⋅z⋅wz \diamond w = z + w + i \cdot z \cdot w, unde i2=−1i^2 = -1. a) Studiați dacă ⋄\diamond este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru e∈Ce \in \mathbb{C} față de ⋄\diamond, dacă există. c) Rezolvați ecuația (1−i)⋄z=2(1-i) \diamond z = 2 în C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Comutativitatea: z⋄w=z+w+izw=w+z+iwz=w⋄zz \diamond w = z + w + i z w = w + z + i w z = w \diamond z, deci este comutativă.
24 puncte
Asociativitatea: se calculează (z⋄w)⋄u=(z+w+izw)⋄u=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwu(z \diamond w) \diamond u = (z+w+i z w) \diamond u = z+w+u + i(z w + z u + w u) - z w u și z⋄(w⋄u)=z⋄(w+u+iwu)=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwuz \diamond (w \diamond u) = z \diamond (w+u+i w u) = z+w+u + i(z w + z u + w u) - z w u, deci este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru: din z⋄e=zz \diamond e = z se obține z+e+ize=z⇒e(1+iz)=0z + e + i z e = z \Rightarrow e(1+ i z)=0, pentru orice zz, deci e=0e=0 (verificare: z⋄0=zz \diamond 0 = z).
42 puncte
Rezolvarea ecuației: (1−i)⋄z=2⇒1−i+z+i(1−i)z=2⇒1−i+z+iz−i2z=2⇒1−i+z+iz+z=2⇒2z+iz=2−1+i⇒z(2+i)=1+i⇒z=1+i2+i=(1+i)(2−i)(2+i)(2−i)=2−i+2i−i24+1=2+i+15=3+i5(1-i) \diamond z = 2 \Rightarrow 1-i + z + i(1-i)z = 2 \Rightarrow 1-i + z + i z - i^2 z = 2 \Rightarrow 1-i + z + i z + z = 2 \Rightarrow 2z + i z = 2 - 1 + i \Rightarrow z(2+i) = 1+i \Rightarrow z = \frac{1+i}{2+i} = \frac{(1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2 - i + 2i - i^2}{4+1} = \frac{2 + i +1}{5} = \frac{3+i}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.