MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \dots o progresie geometrică de numere complexe, cu z1=1+iz_1 = 1 + i și rația q=12+32iq = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i. Calculați suma S=z1+z2+z3+⋯+z10S = z_1 + z_2 + z_3 + \dots + z_{10} și exprimați rezultatul în forma algebrică a+bia+bi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie termenul general al progresiei: zn=z1⋅qn−1z_n = z_1 \cdot q^{n-1}.
24 puncte
Se aplică formula sumei unei progresii geometrice: S10=z11−q101−qS_{10} = z_1 \frac{1-q^{10}}{1-q}.
33 puncte
Se calculează q10q^{10} observând că q=cos⁡π3+isin⁡π3q = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}, deci q10=cos⁡10π3+isin⁡10π3=−12−32iq^{10} = \cos\frac{10\pi}{3} + i\sin\frac{10\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, apoi se înlocuiește în formulă și se simplifică la S10=1−iS_{10} = 1 - i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.