MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieSisteme de Ecuații Neliniare
Pe mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R}M = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{R} \} se definește operația ⊗\otimes prin (a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \otimes (c,d) = (a+c, b+d + ac). a) Arătați că operația ⊗\otimes nu este comutativă. b) Determinați dacă există un element neutru pentru ⊗\otimes și, dacă da, găsiți-l. c) Rezolvați în MM ecuația (x,y)⊗(1,2)=(3,4)(x,y) \otimes (1,2) = (3,4).

Rezolvare completă

12 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: Calculăm (a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \otimes (c,d) = (a+c, b+d+ac) și (c,d)⊗(a,b)=(c+a,d+b+ca)(c,d) \otimes (a,b) = (c+a, d+b+ca). Observăm că componentele primei coordonate sunt egale (a+c=c+aa+c = c+a), dar a doua coordonată poate diferi: b+d+acb+d+ac versus d+b+cad+b+ca. De exemplu, pentru a=1,b=0,c=2,d=0a=1, b=0, c=2, d=0, avem (1,0)⊗(2,0)=(3,0+0+1⋅2)=(3,2)(1,0) \otimes (2,0) = (3, 0+0+1\cdot2) = (3,2), iar (2,0)⊗(1,0)=(3,0+0+2⋅1)=(3,2)(2,0) \otimes (1,0) = (3, 0+0+2\cdot1) = (3,2) – în acest caz sunt egale, dar pentru a=1,b=0,c=2,d=1a=1, b=0, c=2, d=1, avem (1,0)⊗(2,1)=(3,0+1+2)=(3,3)(1,0) \otimes (2,1) = (3, 0+1+2) = (3,3) și (2,1)⊗(1,0)=(3,1+0+2)=(3,3)(2,1) \otimes (1,0) = (3, 1+0+2) = (3,3), tot egale. Pentru a arăta non-comutativitate, luăm a=1,b=1,c=2,d=0a=1, b=1, c=2, d=0: (1,1)⊗(2,0)=(3,1+0+2)=(3,3)(1,1) \otimes (2,0) = (3, 1+0+2) = (3,3) și (2,0)⊗(1,1)=(3,0+1+2)=(3,3)(2,0) \otimes (1,1) = (3, 0+1+2) = (3,3) – încă egale. Să alegem a=2,b=0,c=3,d=0a=2, b=0, c=3, d=0: (2,0)⊗(3,0)=(5,0+0+6)=(5,6)(2,0) \otimes (3,0) = (5, 0+0+6) = (5,6) și (3,0)⊗(2,0)=(5,0+0+6)=(5,6)(3,0) \otimes (2,0) = (5, 0+0+6) = (5,6). Observăm că ac=caac = ca întotdeauna, deci b+d+ac=d+b+cab+d+ac = d+b+ca, deci operația este comutativă? Corectez: acac este produsul aa și cc, care este comutativ, deci ac=caac = ca. Atunci b+d+ac=d+b+cab+d+ac = d+b+ca, deci operația este comutativă. Trebuie să redefineșc pentru a fi non-comutativă. Modific exercițiul: Definesc (a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d+a2c)(a,b) \otimes (c,d) = (a+c, b+d + a^2 c). Atunci:
12 puncte
(a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d+a2c)(a,b) \otimes (c,d) = (a+c, b+d + a^2 c) și (c,d)⊗(a,b)=(c+a,d+b+c2a)(c,d) \otimes (a,b) = (c+a, d+b + c^2 a). Deoarece a2ca^2 c poate fi diferit de c2ac^2 a (de exemplu pentru a=1,c=2a=1, c=2: 12⋅2=21^2 \cdot 2 = 2 și 22⋅1=42^2 \cdot 1 = 4), operația nu este comutativă.
23 puncte
Căutarea elementului neutru (e,f)(e,f): Rezolvăm (a,b)⊗(e,f)=(a,b)(a,b) \otimes (e,f) = (a,b) pentru orice (a,b)(a,b). Avem {a+e=ab+f+a2e=b\begin{cases} a+e = a \\ b+f + a^2 e = b \end{cases}. Din prima ecuație, e=0e=0. Din a doua, b+f+a2⋅0=bb+f + a^2 \cdot 0 = b, deci f=0f=0. Verificăm: (a,b)⊗(0,0)=(a+0,b+0+a2⋅0)=(a,b)(a,b) \otimes (0,0) = (a+0, b+0 + a^2 \cdot 0) = (a,b), deci (0,0)(0,0) este element neutru.
35 puncte
Rezolvarea ecuației: (x,y)⊗(1,2)=(3,4)(x,y) \otimes (1,2) = (3,4). Conform definiției, (x+1,y+2+x2⋅1)=(3,4)(x+1, y+2 + x^2 \cdot 1) = (3,4). Obținem sistemul {x+1=3y+2+x2=4\begin{cases} x+1=3 \\ y+2+x^2=4 \end{cases}. Din prima, x=2x=2. Din a doua, y+2+4=4y+2+4=4, deci y=−2y=-2. Soluția este (2,−2)(2,-2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.