MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea B=(abcd)B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Știind că B2=BB^2 = B și că urma matricei BB (suma elementelor de pe diagonala principală) este tr(B)=a+d=2tr(B) = a+d = 2, determinați matricea BB.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm B2=(abcd)(abcd)=(a2+bcab+bdac+cdbc+d2)B^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}. Impunem B2=BB^2 = B, obținând sistemul: {a2+bc=aab+bd=bac+cd=cbc+d2=d\begin{cases} a^2 + bc = a \\ ab + bd = b \\ ac + cd = c \\ bc + d^2 = d \end{cases}.
24 puncte
Din tr(B)=a+d=2tr(B) = a+d = 2, avem d=2−ad = 2-a. Substituim în sistem. Din ab+bd=bab + bd = b, factorizăm bb: b(a+d)=b⋅2=b⇒2b=b⇒b=0b(a+d) = b \cdot 2 = b \Rightarrow 2b = b \Rightarrow b=0. Din ac+cd=cac + cd = c, factorizăm cc: c(a+d)=c⋅2=c⇒2c=c⇒c=0c(a+d) = c \cdot 2 = c \Rightarrow 2c = c \Rightarrow c=0.
33 puncte
Cu b=0b=0 și c=0c=0, sistemul devine {a2=a0=00=00+d2=d\begin{cases} a^2 = a \\ 0 = 0 \\ 0 = 0 \\ 0 + d^2 = d \end{cases}. Deci a2=a⇒a(a−1)=0⇒a=0a^2 = a \Rightarrow a(a-1)=0 \Rightarrow a=0 sau a=1a=1, și d2=d⇒d(d−1)=0⇒d=0d^2 = d \Rightarrow d(d-1)=0 \Rightarrow d=0 sau d=1d=1. Dar a+d=2a+d=2, verificăm perechile: pentru (a,d)=(1,1)(a,d)=(1,1), avem 1+1=21+1=2 și 12=11^2=1, 12=11^2=1; pentru (a,d)=(0,2)(a,d)=(0,2), 22=4≠22^2=4 \neq 2, deci nu este valid. Astfel, singura soluție este a=1,d=1a=1, d=1, iar matricea este B=(1001)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.