MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Se consideră numărul complex zz care verifică egalitatea ∣z−2i∣=∣z+1∣|z - 2i| = |z + 1|. a) Arătați că afixul lui zz descrie o dreaptă în planul complex. b) Determinați ecuația acestei drepte în coordonate carteziene. c) Găsiți numărul complex zz cu modulul minim care satisface această egalitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția ∣z−2i∣=∣z+1∣|z - 2i| = |z + 1| reprezintă egalitatea distanțelor de la punctul zz la punctele 2i2i și −1-1. În plan, acesta este locul geometric al punctelor egal depărtate de două puncte fixe, deci o dreaptă – mediatoarea segmentului cu capetele în A(0,2)A(0,2) și B(−1,0)B(-1,0).
23 puncte
Fie z=x+iyz = x + iy. Atunci ∣z−2i∣=x2+(y−2)2|z - 2i| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2} și ∣z+1∣=(x+1)2+y2|z + 1| = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}. Egalând, se obține x2+(y−2)2=(x+1)2+y2x^2 + (y-2)^2 = (x+1)^2 + y^2, care după simplificare devine x2+y2−4y+4=x2+2x+1+y2x^2 + y^2 -4y +4 = x^2 + 2x +1 + y^2, deci −4y+4=2x+1-4y +4 = 2x +1, adică 2x+4y=32x + 4y = 3 sau x+2y=32x + 2y = \frac{3}{2}. Ecuația dreptei este x+2y=32x + 2y = \frac{3}{2}.
34 puncte
Punctul de pe dreapta x+2y=32x + 2y = \frac{3}{2} cel mai apropiat de origine este piciorul perpendicularei din origine pe dreaptă. Dreapta are vectorul normal (1,2)(1,2), deci perpendiculara prin origine are ecuația 2x−y=02x - y = 0 (sau y=2xy = 2x). Rezolvând sistemul {x+2y=32y=2x\begin{cases} x + 2y = \frac{3}{2} \\ y = 2x \end{cases}, se obține x+4x=32x + 4x = \frac{3}{2}, deci 5x=325x = \frac{3}{2}, x=310x = \frac{3}{10}, y=35y = \frac{3}{5}. Astfel, z=310+i35z = \frac{3}{10} + i\frac{3}{5}. Modulul minim este distanța de la origine la dreaptă, ∣0+0−32∣12+22=325\frac{|0 + 0 - \frac{3}{2}|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{3}{2\sqrt{5}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.