MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare {2x+y−z=3x−y+2z=13x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - y + 2z = 1 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}. Scrieți sistemul sub forma matriceală AX=BAX = B și determinați soluția folosind matricea inversă a lui AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului sub formă matriceală: A=(21−11−12321)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(314)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculul determinantului det⁡(A)=2⋅(−1⋅1−2⋅2)−1⋅(1⋅1−2⋅3)+(−1)⋅(1⋅2−(−1)⋅3)=2⋅(−1−4)−1⋅(1−6)−1⋅(2+3)=2⋅(−5)−1⋅(−5)−5=−10+5−5=−10≠0\det(A) = 2 \cdot (-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3) + (-1) \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot 3) = 2 \cdot (-1 - 4) - 1 \cdot (1 - 6) - 1 \cdot (2 + 3) = 2 \cdot (-5) - 1 \cdot (-5) - 5 = -10 + 5 - 5 = -10 \neq 0, deci matricea este inversabilă.
33 puncte
Determinarea matricei inverse A−1A^{-1} folosind adjuncta: se calculează matricea adjunctă și se împarte la det⁡(A)\det(A). Rezultă A−1=−110(−5−33−55−55−1−3)=(0.50.3−0.30.5−0.50.5−0.50.10.3)A^{-1} = -\frac{1}{10} \begin{pmatrix} -5 & -3 & 3 \\ -5 & 5 & -5 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & -0.3 \\ 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix}.
42 puncte
Calculul soluției X=A−1B=(0.50.3−0.30.5−0.50.5−0.50.10.3)(314)=(0.5⋅3+0.3⋅1−0.3⋅40.5⋅3−0.5⋅1+0.5⋅4−0.5⋅3+0.1⋅1+0.3⋅4)=(1.5+0.3−1.21.5−0.5+2−1.5+0.1+1.2)=(0.63−0.2)X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & -0.3 \\ 0.5 & -0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \cdot 3 + 0.3 \cdot 1 - 0.3 \cdot 4 \\ 0.5 \cdot 3 - 0.5 \cdot 1 + 0.5 \cdot 4 \\ -0.5 \cdot 3 + 0.1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.5 + 0.3 - 1.2 \\ 1.5 - 0.5 + 2 \\ -1.5 + 0.1 + 1.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 3 \\ -0.2 \end{pmatrix}, deci soluția este x=0.6x = 0.6, y=3y = 3, z=−0.2z = -0.2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.