MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie z1z_1 și z2z_2 numere complexe cu proprietățile ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. Determinați z1z_1 și z2z_2 și arătați că arg⁡(z1)+arg⁡(z2)=0\arg(z_1) + \arg(z_2) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notăm z1=a+biz_1 = a + bi și z2=c+diz_2 = c + di, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Din ∣z1∣=1|z_1| = 1, avem a2+b2=1a^2 + b^2 = 1. Din ∣z2∣=1|z_2| = 1, avem c2+d2=1c^2 + d^2 = 1. Din z1+z2=1z_1 + z_2 = 1, avem a+c=1a+c = 1 și b+d=0b+d = 0.
23 puncte
Din b+d=0b+d=0, avem d=−bd = -b. Din a+c=1a+c=1, avem c=1−ac = 1-a. Substituim în c2+d2=1c^2 + d^2 = 1: (1−a)2+(−b)2=1  ⟹  (1−a)2+b2=1(1-a)^2 + (-b)^2 = 1 \implies (1-a)^2 + b^2 = 1. Dar din a2+b2=1a^2 + b^2 = 1, avem b2=1−a2b^2 = 1 - a^2. Obținem (1−a)2+1−a2=1  ⟹  2−2a=1  ⟹  a=12(1-a)^2 + 1 - a^2 = 1 \implies 2 - 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}. Atunci b2=1−(12)2=34b^2 = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}, deci b=±32b = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
33 puncte
Dacă b=32b = \frac{\sqrt{3}}{2}, atunci d=−32d = -\frac{\sqrt{3}}{2} și c=12c = \frac{1}{2}, deci z1=12+i32z_1 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z2=12−i32z_2 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}. Dacă b=−32b = -\frac{\sqrt{3}}{2}, atunci z1=12−i32z_1 = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}, z2=12+i32z_2 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. În ambele cazuri, arg⁡(z1)=θ\arg(z_1) = \theta și arg⁡(z2)=−θ\arg(z_2) = -\theta cu θ=π3\theta = \frac{\pi}{3} sau θ=−π3\theta = -\frac{\pi}{3}, deci arg⁡(z1)+arg⁡(z2)=0\arg(z_1) + \arg(z_2) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.