MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 termenii unui progresie geometrică cu rația q>0q > 0. Știind că a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și log⁡2(a1)+log⁡2(a2)+log⁡2(a3)=6\log_2(a_1) + \log_2(a_2) + \log_2(a_3) = 6, determinați termenii progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm a1=aa_1 = a, a2=aqa_2 = aq, a3=aq2a_3 = aq^2 și scriem ecuațiile: a+aq+aq2=14a + aq + aq^2 = 14 și log⁡2(a)+log⁡2(aq)+log⁡2(aq2)=6\log_2(a) + \log_2(aq) + \log_2(aq^2) = 6.
23 puncte
Folosim proprietățile logaritmilor: log⁡2(a)+log⁡2(aq)+log⁡2(aq2)=log⁡2(a⋅aq⋅aq2)=log⁡2(a3q3)=6\log_2(a) + \log_2(aq) + \log_2(aq^2) = \log_2(a \cdot aq \cdot aq^2) = \log_2(a^3 q^3) = 6, deci a3q3=26=64a^3 q^3 = 2^6 = 64, adică (aq)3=64(aq)^3 = 64, de unde aq=4aq = 4.
33 puncte
Înlocuim aq=4aq = 4 în prima ecuație: a+4+aq2=14a + 4 + aq^2 = 14. Dar aq2=(aq)q=4qaq^2 = (aq)q = 4q, deci a+4+4q=14⇒a+4q=10a + 4 + 4q = 14 \Rightarrow a + 4q = 10. Și din aq=4aq = 4, avem a=4qa = \frac{4}{q}. Înlocuim: 4q+4q=10⇒4+4q2=10q⇒4q2−10q+4=0⇒2q2−5q+2=0\frac{4}{q} + 4q = 10 \Rightarrow 4 + 4q^2 = 10q \Rightarrow 4q^2 - 10q + 4 = 0 \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0, cu soluțiile q=2q = 2 sau q=12q = \frac{1}{2}. Pentru q=2q=2, a=42=2a = \frac{4}{2} = 2, deci termenii sunt 2,4,82, 4, 8. Pentru q=12q=\frac{1}{2}, a=41/2=8a = \frac{4}{1/2} = 8, deci termenii sunt 8,4,28, 4, 2. Ambele progresii sunt valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.