MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrieIdentități algebrice
În triunghiul ABC cu unghiurile A, B, C și laturile opuse a, b, c, se știe că a2=b2+bca^2 = b^2 + bc. Să se demonstreze că A=2BA=2B.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicând teorema sinusurilor, avem a=2Rsin⁡Aa=2R\sin A, b=2Rsin⁡Bb=2R\sin B, c=2Rsin⁡Cc=2R\sin C. Ecuația dată devine 4R2sin⁡2A=4R2sin⁡2B+4R2sin⁡Bsin⁡C4R^2\sin^2 A = 4R^2\sin^2 B + 4R^2\sin B\sin C, deci sin⁡2A=sin⁡2B+sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A = \sin^2 B + \sin B\sin C.
23 puncte
În triunghi, A+B+C=πA+B+C=\pi, deci C=π−A−BC=\pi - A - B și sin⁡C=sin⁡(A+B)\sin C = \sin(A+B). Înlocuind, obținem sin⁡2A=sin⁡2B+sin⁡Bsin⁡(A+B)\sin^2 A = \sin^2 B + \sin B \sin(A+B).
34 puncte
Se folosește identitatea sin⁡2A−sin⁡2B=sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B). Ecuația devine sin⁡(A+B)sin⁡(A−B)=sin⁡Bsin⁡(A+B)\sin(A+B)\sin(A-B) = \sin B \sin(A+B). Dacă sin⁡(A+B)≠0\sin(A+B) \neq 0 (cazul triunghiului nedegenerat), se simplifică și rămâne sin⁡(A−B)=sin⁡B\sin(A-B) = \sin B. Aceasta implică A−B=BA-B = B sau A−B=π−BA-B = \pi - B, dar a doua ecuație dă A=πA=\pi, imposibil pentru triunghi. Deci A−B=BA-B = B, adică A=2BA=2B.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.