MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciVectoriDeterminanți
Fie vectorii a⃗=i⃗+j⃗\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}, b⃗=i⃗−j⃗+k⃗\vec{b} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k}, c⃗=j⃗+k⃗\vec{c} = \vec{j} + \vec{k} din R3\mathbb{R}^3. a) Scrieți matricea AA ale cărei coloane sunt coordonatele vectorilor a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} în baza canonică. b) Calculați determinantul matricei AA și discutați dacă vectorii sunt liniar independenți. c) Pentru λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, rezolvați ecuația matriceală A⋅X=λXA \cdot X = \lambda X, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Coordonatele vectorilor în baza canonică: a⃗=(1,1,0)\vec{a} = (1,1,0), b⃗=(1,−1,1)\vec{b} = (1,-1,1), c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0,1,1). Matricea A=(1101−11011)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \
24 puncte
Calculăm det⁡(A)=1⋅∣−1111∣−1⋅∣1101∣+0⋅∣1−101∣=1((−1)⋅1−1⋅1)−1(1⋅1−1⋅0)=1(−1−1)−1(1)=−2−1=−3≠0\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = 1(-1 - 1) - 1(1) = -2 - 1 = -3 \neq 0. Deoarece det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, vectorii sunt liniar independenți. \
34 puncte
Ecuația A⋅X=λXA \cdot X = \lambda X se scrie ca (A−λI)X=0(A - \lambda I)X = 0, unde II este matricea identitate. Matricea A−λI=(1−λ101−1−λ1011−λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}. Sistemul omogen are soluții nenule dacă det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0. Calculăm: det⁡(A−λI)=(1−λ)∣−1−λ111−λ∣−1⋅∣1101−λ∣=(1−λ)[(−1−λ)(1−λ)−1⋅1]−1[1⋅(1−λ)−1⋅0]=(1−λ)[(−1)(1−λ)−λ(1−λ)−1]−(1−λ)=(1−λ)(−1+λ−λ+λ2−1)−(1−λ)=(1−λ)(λ2−2)−(1−λ)=(1−λ)(λ2−2−1)=(1−λ)(λ2−3)\det(A - \lambda I) = (1-\lambda) \begin{vmatrix} -1-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)[(-1-\lambda)(1-\lambda) - 1 \cdot 1] - 1[1 \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0] = (1-\lambda)[(-1)(1-\lambda) - \lambda(1-\lambda) - 1] - (1-\lambda) = (1-\lambda)(-1 + \lambda - \lambda + \lambda^2 - 1) - (1-\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2) - (1-\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2 - 1) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 3). Setând det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0, obținem (1−λ)(λ2−3)=0(1-\lambda)(\lambda^2 - 3) = 0, deci λ=1\lambda = 1, λ=3\lambda = \sqrt{3} sau λ=−3\lambda = -\sqrt{3}. Pentru fiecare astfel de λ\lambda, se rezolvă sistemul (A−λI)X=0(A - \lambda I)X = 0 pentru a determina soluțiile nenule ale ecuației matriceale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.