MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Într-o progresie geometrică de numere complexe, modulul primului termen este 2, modulul celui de-al doilea termen este 4, iar al treilea termen este un număr imaginar pur. Dacă rația progresiei este un număr real, determinați primii trei termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm z1=a+biz_1 = a+bi, z2=z1rz_2 = z_1 r, z3=z1r2z_3 = z_1 r^2, cu rr real. Din condițiile date: ∣z1∣=2|z_1| = 2, deci a2+b2=4a^2 + b^2 = 4; ∣z2∣=4|z_2| = 4, deci ∣z1∣∣r∣=4|z_1| |r| = 4, astfel 2∣r∣=42|r| = 4, deci ∣r∣=2|r| = 2.
24 puncte
Deoarece rr este real, r=±2r = \pm 2. z3z_3 este imaginar pur, deci partea reală a lui z3z_3 este 0. z3=z1r2=z1⋅4z_3 = z_1 r^2 = z_1 \cdot 4 (deoarece r2=4r^2 = 4 indiferent de semn). Atunci Re(z3)=4a=0\text{Re}(z_3) = 4a = 0, deci a=0a=0.
33 puncte
Din a=0a=0 și a2+b2=4a^2+b^2=4, avem b2=4b^2=4, deci b=±2b=\pm 2. Astfel, z1=±2iz_1 = \pm 2i. Pentru r=2r=2, z2=±4iz_2 = \pm 4i, z3=±8iz_3 = \pm 8i; pentru r=−2r=-2, z2=∓4iz_2 = \mp 4i, z3=±8iz_3 = \pm 8i (verificând semnele pentru consistență). Soluțiile posibile sunt, de exemplu, z1=2i,z2=4i,z3=8iz_1=2i, z_2=4i, z_3=8i sau z1=−2i,z2=−4i,z3=−8iz_1=-2i, z_2=-4i, z_3=-8i sau z1=2i,z2=−4i,z3=8iz_1=2i, z_2=-4i, z_3=8i etc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.