MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Numerele complexe z1=a+biz_1 = a+bi, z2=2+3iz_2 = 2+3i, z3=b−aiz_3 = b-ai sunt în progresie geometrică. Determinați toate perechile (a,b)(a, b) pentru care aceasta are loc. Pentru fiecare caz, calculați rația qq a progresiei și suma primilor 10 termeni, presupunând că progresia este mărginită.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scriem condiția ca z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 să fie în progresie geometrică: z22=z1⋅z3z_2^2 = z_1 \cdot z_3.
24 puncte
Înlocuim și obținem: (2+3i)2=(a+bi)(b−ai)(2+3i)^2 = (a+bi)(b-ai). Dezvoltăm: 4+12i+9i2=ab−a2i+b2i−abi24 + 12i + 9i^2 = ab - a^2 i + b^2 i - ab i^2, adică −5+12i=ab+ab+(−a2+b2)i-5 + 12i = ab + ab + (-a^2 + b^2)i, deci sistemul {2ab=−5−a2+b2=12\begin{cases} 2ab = -5 \\ -a^2 + b^2 = 12 \end{cases}.
34 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație, ab=−52ab = -\frac{5}{2}. Înlocuim în a doua: −a2+b2=12-a^2 + b^2 = 12. Exprimăm b=−52ab = -\frac{5}{2a} și substituim, obținând ecuația în aa: −a2+(−52a)2=12-a^2 + \left(-\frac{5}{2a}\right)^2 = 12, care conduce la 4a4+48a2−25=04a^4 + 48a^2 - 25 = 0. Soluțiile reale sunt a=±12a = \pm\frac{1}{2} și a=±52a = \pm\frac{5}{2}, cu bb corespunzător. Pentru fiecare pereche, calculăm q=z2/z1q = z_2 / z_1 și suma S10=z11−q101−qS_{10} = z_1 \frac{1-q^{10}}{1-q} dacă ∣q∣≠1|q| \neq 1; altfel, suma nu este definită în mod obișnuit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.