MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe se definește legea de compoziție z∘w=z+w+i⋅Im⁡(z)⋅Im⁡(w)z \circ w = z + w + i \cdot \operatorname{Im}(z) \cdot \operatorname{Im}(w), unde Im⁡(z)\operatorname{Im}(z) este partea imaginară a lui zz. a) Arătați că legea este comutativă. b) Determinați dacă există element neutru și, în caz afirmativ, găsiți-l. c) Rezolvați ecuația z∘(1+i)=2−3iz \circ (1+i) = 2-3i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru comutativitate, avem z∘w=z+w+i⋅Im⁡(z)⋅Im⁡(w)z \circ w = z + w + i \cdot \operatorname{Im}(z) \cdot \operatorname{Im}(w). Deoarece adunarea este comutativă și Im⁡(z)⋅Im⁡(w)=Im⁡(w)⋅Im⁡(z)\operatorname{Im}(z) \cdot \operatorname{Im}(w) = \operatorname{Im}(w) \cdot \operatorname{Im}(z), rezultă că z∘w=w∘zz \circ w = w \circ z, deci legea este comutativă.
24 puncte
Căutăm elementul neutru e=a+bie = a+bi astfel încât z∘e=zz \circ e = z pentru orice z=x+yiz = x+yi. Avem z∘e=(x+yi)+(a+bi)+i⋅y⋅b=(x+a)+(y+b+yb)iz \circ e = (x+yi) + (a+bi) + i \cdot y \cdot b = (x+a) + (y+b+ yb)i. Pentru ca aceasta să fie egal cu x+yix+yi, trebuie x+a=xx+a = x și y+b+yb=yy+b+ yb = y. Din prima, a=0a=0. Din a doua, b+yb=0b+ yb = 0 pentru orice yy, deci b(1+y)=0b(1+y) = 0 pentru orice yy, ceea ce implică b=0b=0. Verificăm: pentru e=0e=0, z∘0=z+0+i⋅y⋅0=zz \circ 0 = z + 0 + i \cdot y \cdot 0 = z, deci 00 este elementul neutru.
33 puncte
Rezolvăm ecuația z∘(1+i)=2−3iz \circ (1+i) = 2-3i. Fie z=x+yiz = x+yi. Atunci z∘(1+i)=(x+yi)+(1+i)+i⋅y⋅1=(x+1)+(y+1+y)i=(x+1)+(2y+1)iz \circ (1+i) = (x+yi) + (1+i) + i \cdot y \cdot 1 = (x+1) + (y+1+ y)i = (x+1) + (2y+1)i. Punem egal cu 2−3i2-3i: x+1=2x+1 = 2 și 2y+1=−32y+1 = -3. Din prima, x=1x=1. Din a doua, 2y=−42y = -4, deci y=−2y=-2. Așadar, z=1−2iz = 1-2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.