MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriNumere Complexe
Pe mulțimea M={(x,y)∣x,y∈R}M = \{ (x,y) \mid x, y \in \mathbb{R} \} se definește operația ∘\circ prin (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1). Verificați dacă (M,∘)(M, \circ) este grup comutativ. Studiați dacă operația ∘\circ este distributivă față de adunarea vectorială definită ca (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: (x1,y1)∘(x2,y2)=(x1x2−y1y2,x1y2+x2y1)(x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2, x_1 y_2 + x_2 y_1) și (x2,y2)∘(x1,y1)=(x2x1−y2y1,x2y1+x1y2)(x_2, y_2) \circ (x_1, y_1) = (x_2 x_1 - y_2 y_1, x_2 y_1 + x_1 y_2). Se observă că sunt egale, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm ((x1,y1)∘(x2,y2))∘(x3,y3)((x_1, y_1) \circ (x_2, y_2)) \circ (x_3, y_3) și (x1,y1)∘((x2,y2)∘(x3,y3))(x_1, y_1) \circ ((x_2, y_2) \circ (x_3, y_3)). Folosind definiția, se arată că ambele dau (x1x2x3−x1y2y3−y1x2y3−y1y2x3,x1x2y3+x1y2x3+y1x2x3−y1y2y3)(x_1 x_2 x_3 - x_1 y_2 y_3 - y_1 x_2 y_3 - y_1 y_2 x_3, x_1 x_2 y_3 + x_1 y_2 x_3 + y_1 x_2 x_3 - y_1 y_2 y_3), deci operația este asociativă.
32 puncte
Găsim elementul neutru e=(e1,e2)e = (e_1, e_2) astfel încât (x,y)∘(e1,e2)=(x,y)(x,y) \circ (e_1, e_2) = (x,y). Rezolvând sistemul xe1−ye2=xx e_1 - y e_2 = x și xe2+ye1=yx e_2 + y e_1 = y pentru orice x,yx,y, obținem e1=1,e2=0e_1 = 1, e_2 = 0. Inversul lui (x,y)(x,y) este (x′,y′)(x', y') cu (x,y)∘(x′,y′)=(1,0)(x,y) \circ (x', y') = (1,0); rezolvând, x′=xx2+y2,y′=−yx2+y2x' = \frac{x}{x^2 + y^2}, y' = \frac{-y}{x^2 + y^2} pentru (x,y)≠(0,0)(x,y) \neq (0,0).
43 puncte
Studiem distributivitatea: verificăm dacă (u∘v)+(u∘w)=u∘(v+w)(u \circ v) + (u \circ w) = u \circ (v + w) pentru u,v,w∈Mu, v, w \in M. Cu u=(x1,y1)u = (x_1, y_1), v=(x2,y2)v = (x_2, y_2), w=(x3,y3)w = (x_3, y_3), calculăm ambele părți. Se obține că egalitatea nu este valabilă în general, deci ∘\circ nu este distributivă față de ++.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.