MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeDeterminanți
Se consideră matricele de forma M(a,b)=(ab−ba)M(a,b) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. a) Arătați că determinantul lui M(a,b)M(a,b) este a2+b2a^2 + b^2 și deduceți că M(a,b)M(a,b) este inversabilă dacă și numai dacă (a,b)≠(0,0)(a,b) \neq (0,0). b) Demonstrați că aplicația ϕ:C→M2(R)\phi : \mathbb{C} \to M_2(\mathbb{R}) definită prin ϕ(a+bi)=M(a,b)\phi(a+bi) = M(a,b) este un izomorfism de corpuri. c) Rezolvați în C\mathbb{C} ecuația z2=3+4iz^2 = 3+4i folosind reprezentarea matricială.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
det⁡(M(a,b))=a⋅a−b⋅(−b)=a2+b2\det(M(a,b)) = a \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 + b^2. Matricea este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este nenul, adică a2+b2≠0⇔(a,b)≠(0,0)a^2 + b^2 \neq 0 \Leftrightarrow (a,b) \neq (0,0).
24 puncte
ϕ\phi este bine definită și injectivă: dacă ϕ(a+bi)=ϕ(c+di)\phi(a+bi) = \phi(c+di), atunci M(a,b)=M(c,d)M(a,b) = M(c,d), deci a=ca=c și b=db=d. Surjectivitatea: orice matrice M(a,b)M(a,b) are preimaginea a+bia+bi. Se verifică omomorfismul: pentru z=a+bi,w=c+di∈Cz=a+bi, w=c+di \in \mathbb{C}, ϕ(z+w)=ϕ((a+c)+(b+d)i)=M(a+c,b+d)=M(a,b)+M(c,d)=ϕ(z)+ϕ(w)\phi(z+w) = \phi((a+c)+(b+d)i) = M(a+c, b+d) = M(a,b) + M(c,d) = \phi(z) + \phi(w) și ϕ(zw)=ϕ((ac−bd)+(ad+bc)i)=M(ac−bd,ad+bc)=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)=M(a,b)M(c,d)=ϕ(z)ϕ(w)\phi(zw) = \phi((ac-bd)+(ad+bc)i) = M(ac-bd, ad+bc) = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} = M(a,b) M(c,d) = \phi(z) \phi(w). Astfel, ϕ\phi este izomorfism de corpuri.
33 puncte
Ecuația z2=3+4iz^2 = 3+4i corespunde la M(a,b)2=M(3,4)M(a,b)^2 = M(3,4). Calculăm M(a,b)2=(a2−b22ab−2aba2−b2)M(a,b)^2 = \begin{pmatrix} a^2 - b^2 & 2ab \\ -2ab & a^2 - b^2 \end{pmatrix}. Egalând cu M(3,4)M(3,4), obținem sistemul {a2−b2=32ab=4\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}. Din a doua ecuație, ab=2ab=2. Se rezolvă prin substituție: din a=2ba = \frac{2}{b}, înlocuind în prima, 4b2−b2=3⇒4−b4=3b2⇒b4+3b2−4=0\frac{4}{b^2} - b^2 = 3 \Rightarrow 4 - b^4 = 3b^2 \Rightarrow b^4 + 3b^2 - 4 = 0. Notând t=b2t = b^2, avem t2+3t−4=0t^2 + 3t - 4 = 0, cu soluțiile t=1t=1 și t=−4t=-4 (neacceptabilă). Deci b2=1⇒b=±1b^2=1 \Rightarrow b=\pm 1. Pentru b=1b=1, a=2a=2; pentru b=−1b=-1, a=−2a=-2. Astfel, soluțiile sunt z=2+iz=2+i și z=−2−iz=-2-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.