MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Fie (an)(a_n) o progresie geometrică cu rația q>0q > 0 și a1=2a_1 = 2. Dacă suma primilor nn termeni este Sn=126S_n = 126 și produsul primilor nn termeni este Pn=221P_n = 2^{21}, determinați nn și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem formula sumei progresiei geometrice: Sn=a1qn−1q−1=2qn−1q−1=126S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} = 2 \frac{q^n - 1}{q - 1} = 126.
23 puncte
Scriem formula produsului primilor nn termeni: Pn=a1nqn(n−1)2=2nqn(n−1)2=221P_n = a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{21}.
32 puncte
Din a doua ecuație, obținem 2nqn(n−1)2=2212^n q^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{21}, deci qn(n−1)2=221−nq^{\frac{n(n-1)}{2}} = 2^{21-n}.
42 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație, qn−1q−1=63\frac{q^n - 1}{q - 1} = 63. Presupunând q≠1q \neq 1 și rezolvând, găsim q=2q=2 și n=6n=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.