MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometricePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră progresia geometrică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu a1=2a_1 = 2 și rația q>0q > 0. Dacă a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 sunt rădăcinile ecuației x3−7x2+14x−8=0x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0, să se determine qq și suma S=a1+a2+a3+a4S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din ecuația cubică, conform relațiilor lui Vieta, suma rădăcinilor este a1+a2+a3=7a_1 + a_2 + a_3 = 7.
22 puncte
Deoarece (an)(a_n) este progresie geometrică, avem a2=a1q=2qa_2 = a_1 q = 2q și a3=a1q2=2q2a_3 = a_1 q^2 = 2q^2.
32 puncte
Înlocuind în suma rădăcinilor: 2+2q+2q2=72 + 2q + 2q^2 = 7, deci 2q2+2q−5=02q^2 + 2q - 5 = 0.
42 puncte
Rezolvă ecuația pătratică: q2+q−52=0q^2 + q - \frac{5}{2} = 0. Discriminantul este Δ=1+10=11\Delta = 1 + 10 = 11, deci q=−1±112q = \frac{-1 \pm \sqrt{11}}{2}. Cum q>0q > 0, alegem q=−1+112q = \frac{-1 + \sqrt{11}}{2}.
52 puncte
Calculează a4=a1q3=2(−1+112)3a_4 = a_1 q^3 = 2 \left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{2}\right)^3 și suma S=a1+a2+a3+a4=7+2(−1+112)3S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 7 + 2 \left(\frac{-1 + \sqrt{11}}{2}\right)^3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.