MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numerele complexe zz care verifică relația ∣z∣=z+1−2i|z| = z + 1 - 2i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea lui z=x+yiz = x + yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci ∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
23 puncte
Substituția în ecuație: x2+y2=x+yi+1−2i=(x+1)+(y−2)i\sqrt{x^2 + y^2} = x + yi + 1 - 2i = (x+1) + (y-2)i.
34 puncte
Egalarea părților reale și imaginare. Deoarece x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} este real nenegativ, (x+1)+(y−2)i(x+1) + (y-2)i trebuie să fie real, deci partea imaginară zero: y−2=0⇒y=2y-2=0 \Rightarrow y=2. Atunci ecuația devine x2+4=x+1\sqrt{x^2 + 4} = x+1. Ridicând la pătrat: x2+4=(x+1)2=x2+2x+1⇒4=2x+1⇒2x=3⇒x=32x^2 + 4 = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow 4 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}. Verificare: pentru x=32,y=2x=\frac{3}{2}, y=2, (3/2)2+4=25/4=5/2\sqrt{(3/2)^2 + 4} = \sqrt{25/4} = 5/2 și x+1=5/2x+1 = 5/2, deci verifică. Soluția este z=32+2iz = \frac{3}{2} + 2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.