MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie geometrică cu rația r≠0r \neq 0 și primul termen a1=aa_1 = a. Știind că suma primilor trei termeni este a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și suma pătratelor lor este a12+a22+a32=84a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 84, determinați termenii progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Scrierea condițiilor sub formă de ecuații: a+ar+ar2=14a + ar + ar^2 = 14 și a2+a2r2+a2r4=84a^2 + a^2r^2 + a^2r^4 = 84.
25 puncte
Rezolvarea sistemului. Din prima ecuație, a(1+r+r2)=14a(1 + r + r^2) = 14. Din a doua, a2(1+r2+r4)=84a^2(1 + r^2 + r^4) = 84. Împărțind cele două ecuații, obținem a⋅1+r2+r41+r+r2=6a \cdot \frac{1+r^2+r^4}{1+r+r^2} = 6. Utilizând identitatea 1+r2+r4=(1+r+r2)(1−r+r2)1+r^2+r^4 = (1+r+r^2)(1 - r + r^2), se ajunge la a(1−r+r2)=6a(1 - r + r^2) = 6. Rezolvând sistemul format cu a(1+r+r2)=14a(1+r+r^2)=14 și a(1−r+r2)=6a(1-r+r^2)=6, se găsește a=2a=2 și r=2r=2 sau r=12r=\frac{1}{2}.
33 puncte
Determinarea progresiilor: pentru a=2,r=2a=2, r=2, progresia este 2,4,8,…2, 4, 8, \dots; pentru a=2,r=12a=2, r=\frac{1}{2}, progresia este 2,1,12,…2, 1, \frac{1}{2}, \dots.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.