MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră matricea A=(1−1221−1−121)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} și vectorul B=(30−3)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}. a) Rezolvați sistemul liniar Ax⃗=BA \vec{x} = B. b) Calculați determinantul matricei AA și discutați unicitatea soluției sistemului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se scrie sistemul sub formă matriceală și se formează matricea augmentată [A∣B][A|B].
23 puncte
Se aplică transformări elementare (metoda Gauss) pentru a reduce matricea la formă eșalonată.
32 puncte
Se obțin valorile necunoscutelor din sistemul eșalonat: x1,x2,x3x_1, x_2, x_3.
42 puncte
Se calculează det⁡(A)\det(A) folosind dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=1⋅∣1−121∣−(−1)⋅∣2−1−11∣+2⋅∣21−12∣=1⋅(1⋅1−(−1)⋅2)+1⋅(2⋅1−(−1)⋅(−1))+2⋅(2⋅2−1⋅(−1))=3+1+10=14\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1)) + 2 \cdot (2 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = 3 + 1 + 10 = 14.
51 punct
Deoarece det⁡(A)=14≠0\det(A) = 14 \neq 0, sistemul are soluție unică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.