MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrie
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta. Demonstrați că zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) pentru orice număr natural nn. Apoi, utilizați acest rezultat pentru a deduce formula lui cos⁡(3θ)\cos(3\theta) în funcție de cos⁡θ\cos \theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Scrieți zz sub formă trigonometrică și observați că ∣z∣=1|z|=1, deci z−1=z‾=cos⁡θ−isin⁡θz^{-1} = \overline{z} = \cos \theta - i \sin \theta. Aplicați formula lui de Moivre: zn=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) și z−n=cos⁡(nθ)−isin⁡(nθ)z^{-n} = \cos(n\theta) - i \sin(n\theta). Adunați pentru a obține 2cos⁡(nθ)2\cos(n\theta).\n
26 puncte
Pentru n=3n=3, aveți z3+z−3=2cos⁡(3θ)z^3 + z^{-3} = 2\cos(3\theta). Calculați z3=(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θz^3 = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta \sin\theta - 3\cos\theta \sin^2\theta - i\sin^3\theta și z−3z^{-3} similar. Separați partea reală: cos⁡(3θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.