MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
O populație de bacterii crește astfel încât numărul de bacterii la sfârșitul fiecărei ore formează o progresie geometrică. Dacă după 4 ore numărul a devenit de 2 ori mai mare, iar după 12 ore de 8 ori mai mare decât numărul inițial, determinați: a) rația progresiei; b) după câte ore numărul de bacterii va fi de 1000 de ori mai mare decât cel inițial?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm cu ana_n numărul de bacterii după nn ore și cu a0a_0 numărul inițial; progresia este geometrică, deci an=a0⋅qna_n = a_0 \cdot q^n, unde qq este rația. Din date, avem a4=2a0a_4 = 2a_0 și a12=8a0a_{12} = 8a_0, de unde obținem ecuațiile q4=2q^4 = 2 și q12=8q^{12} = 8.
23 puncte
Rezolvăm ecuația q4=2q^4 = 2; deoarece creșterea este pozitivă, considerăm q>0q > 0 și obținem q=24=21/4q = \sqrt[4]{2} = 2^{1/4}; verificăm că satisface și q12=8q^{12} = 8.
32 puncte
Pentru partea b, impunem condiția an=1000a0a_n = 1000a_0, adică qn=1000q^n = 1000; înlocuind q=21/4q = 2^{1/4}, avem (21/4)n=1000(2^{1/4})^n = 1000, echivalent cu 2n/4=10002^{n/4} = 1000.
43 puncte
Aplicăm logaritmi pentru a rezolva ecuația: n4log⁡2=log⁡1000\frac{n}{4} \log 2 = \log 1000; deoarece log⁡1000=log⁡103=3log⁡10\log 1000 = \log 10^3 = 3 \log 10, obținem n=12log⁡10log⁡2n = \frac{12 \log 10}{\log 2}; putem lăsa răspunsul în această formă sau aproxima numeric, specificând că nn este natural și verificând condiția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.