MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Pe mulțimea M2(R)M_2(\mathbb{R}) se definește legea de compoziție A∘B=AB−BAA \circ B = AB - BA. a) Verificați dacă legea este asociativă. b) Determinați dacă există element neutru. c) Studiați comutativitatea. d) Pentru matricea A=(120−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, rezolvați ecuația A∘X=(0100)A \circ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: se consideră matrice arbitrare și se arată că (A∘B)∘C=ABC−BAC−CAB+CBA(A \circ B) \circ C = ABC - BAC - CAB + CBA și A∘(B∘C)=ABC−ACB−BCA+CBAA \circ (B \circ C) = ABC - ACB - BCA + CBA, care nu sunt egale în general, deci legea nu este asociativă.
22 puncte
Determinarea elementului neutru: presupunând că există EE astfel încât A∘E=AA \circ E = A pentru orice AA, atunci pentru A=IA=I (matricea identitate) avem I∘E=IE−EI=E−E=0≠II \circ E = IE - EI = E-E=0 \neq I, contradicție, deci nu există element neutru.
32 puncte
Studierea comutativității: A∘B=AB−BAA \circ B = AB - BA și B∘A=BA−AB=−(AB−BA)=−(A∘B)B \circ A = BA - AB = -(AB-BA) = -(A \circ B), deci legea este anticomutativă și nu comutativă.
43 puncte
Rezolvarea ecuației: fie X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Se calculează AX=(a+2cb+2d−c−d)A X = \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ -c & -d \end{pmatrix} și XA=(a2a−bc2c−d)X A = \begin{pmatrix} a & 2a-b \\ c & 2c-d \end{pmatrix}, deci AX−XA=(2c2b+2d−2a−2c−2c)A X - X A = \begin{pmatrix} 2c & 2b+2d-2a \\ -2c & -2c \end{pmatrix}. Setând egal cu (0100)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, se obține sistemul: 2c=02c=0, −2c=0-2c=0, 2b+2d−2a=12b+2d-2a=1. Din primele două, c=0c=0. Din a treia, b+d−a=12b+d-a=\frac{1}{2}. Astfel, X=(ab0d)X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} cu b=12+a−db = \frac{1}{2} + a - d, unde a,d∈Ra,d \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.