MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un semicerc de rază RR are ecuația x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2 pentru y≥0y \geq 0. În acest semicerc se înscrie un dreptunghi cu baza pe diametrul de pe axa Ox și vârfurile superioare pe semicerc. Exprimați aria dreptunghiului în funcție de abscisa xx a unui vârf superior și determinați valoarea lui xx pentru care aria este maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie xx abscisa vârfului superior dreapta, cu 0<x<R0 < x < R. Atunci ordonata este y=R2−x2y = \sqrt{R^2 - x^2}. Baza dreptunghiului este 2x2x, iar înălțimea este yy, deci aria A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x \sqrt{R^2 - x^2}.
24 puncte
Calculați derivata: A′(x)=2R2−x2+2x⋅12(R2−x2)−1/2⋅(−2x)=2(R2−x2)−2x2R2−x2=2R2−4x2R2−x2A'(x) = 2 \sqrt{R^2 - x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2} (R^2 - x^2)^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{2(R^2 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}} = \frac{2R^2 - 4x^2}{\sqrt{R^2 - x^2}}. Set A′(x)=0⇒2R2−4x2=0⇒x2=R22⇒x=R2A'(x)=0 \Rightarrow 2R^2 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{R^2}{2} \Rightarrow x = \frac{R}{\sqrt{2}} (pentru x>0x>0).
33 puncte
Verificați monotonie: pentru x<R2x < \frac{R}{\sqrt{2}}, A′(x)>0A'(x) > 0; pentru x>R2x > \frac{R}{\sqrt{2}}, A′(x)<0A'(x) < 0, deci x=R2x = \frac{R}{\sqrt{2}} maximizează aria. Dimensiunile sunt baza 2x=2R2x = \sqrt{2}R și înălțimea R2\frac{R}{\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.