MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii unei progresii geometrice de numere complexe, cu z1=3+4iz_1 = 3+4i și z3=7−24iz_3 = 7-24i. Determinați toate valorile posibile pentru z2z_2 și pentru rația rr a progresiei. Apoi calculați z4z_4.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scrieți condiția pentru progresie geometrică: z22=z1z3z_2^2 = z_1 z_3.
22 puncte
Calculați z1z3=(3+4i)(7−24i)=117−44iz_1 z_3 = (3+4i)(7-24i) = 117 -44i.
33 puncte
Găsiți rădăcinile pătrate ale lui 117−44i117 -44i rezolvând sistemul {x2−y2=1172xy=−44\begin{cases} x^2 - y^2 = 117 \\ 2xy = -44 \end{cases}; obțineți x=11,y=−2x=11, y=-2 sau x=−11,y=2x=-11, y=2.
41 punct
Concluzionați că z2=±(11−2i)z_2 = \pm(11-2i).
51 punct
Pentru fiecare caz, calculați rația r=z2/z1r = z_2 / z_1: dacă z2=11−2iz_2 = 11-2i, atunci r=11−2i3+4i=1−2ir = \frac{11-2i}{3+4i} = 1-2i; dacă z2=−(11−2i)z_2 = -(11-2i), atunci r=−1+2ir = -1+2i.
61 punct
Pentru fiecare rație, calculați z4=z1r3z_4 = z_1 r^3: pentru r=1−2ir=1-2i, z4=(3+4i)(1−2i)3=−117+44iz_4 = (3+4i)(1-2i)^3 = -117+44i; pentru r=−1+2ir=-1+2i, z4=(3+4i)(−1+2i)3=117−44iz_4 = (3+4i)(-1+2i)^3 = 117-44i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.