MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2x+log⁡2y=2x+y=6\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 2 \\ x + y = 6 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Aplicați proprietatea sumei logaritmilor: log⁡2x+log⁡2y=log⁡2(xy)\log_2 x + \log_2 y = \log_2(xy), deci log⁡2(xy)=2  ⟹  xy=22=4\log_2(xy) = 2 \implies xy = 2^2 = 4.
22 puncte
Obțineți sistemul algebric: {xy=4x+y=6\begin{cases} xy = 4 \\ x + y = 6 \end{cases}.
32 puncte
Exprimați o variabilă în funcție de cealaltă: din x+y=6x + y = 6, avem y=6−xy = 6 - x.
42 puncte
Rezolvați ecuația de gradul al doilea: substituind în xy=4xy = 4, obținem x(6−x)=4  ⟹  6x−x2=4  ⟹  x2−6x+4=0x(6-x) = 4 \implies 6x - x^2 = 4 \implies x^2 - 6x + 4 = 0. Soluțiile sunt x=6±36−162=6±202=6±252=3±5x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}.
51 punct
Găsiți valorile corespunzătoare pentru yy: dacă x=3+5x = 3 + \sqrt{5}, atunci y=6−(3+5)=3−5y = 6 - (3 + \sqrt{5}) = 3 - \sqrt{5}; dacă x=3−5x = 3 - \sqrt{5}, atunci y=3+5y = 3 + \sqrt{5}.
61 punct
Verificați condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0. Ambele perechi (3+5,3−5)(3+\sqrt{5}, 3-\sqrt{5}) și (3−5,3+5)(3-\sqrt{5}, 3+\sqrt{5}) au ambele componente pozitive, deci sunt soluții valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.