MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriFuncția de gradul I
Pe mulțimea M={f:R→R∣f(x)=ax+b, a,b∈R, a≠0}M = \{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(x) = ax+b, \ a,b \in \mathbb{R}, \ a \neq 0 \} se definește legea de compoziție (f⋆g)(x)=f(g(x))(f \star g)(x) = f(g(x)). Să se arate că (M,⋆)(M, \star) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică că pentru orice f,g∈Mf, g \in M, f⋆g∈Mf \star g \in M, adică f(g(x))f(g(x)) este de forma cx+dcx+d cu c≠0c \neq 0.\n
23 puncte
Se demonstrează asociativitatea compunerii funcțiilor: (f⋆g)⋆h=f⋆(g⋆h)(f \star g) \star h = f \star (g \star h) pentru orice f,g,h∈Mf, g, h \in M.\n
32 puncte
Se determină elementul neutru ee astfel încât f⋆e=e⋆f=ff \star e = e \star f = f pentru orice f∈Mf \in M.\n
42 puncte
Pentru fiecare f∈Mf \in M, se găsește inversul f′f' astfel încât f⋆f′=f′⋆f=ef \star f' = f' \star f = e.\n
51 punct
Se concluzionează că (M,⋆)(M, \star) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.