MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebriceSisteme de Ecuații Neliniare
Demonstrați că pentru orice numere reale aa și bb cu a2+b2=1a^2 + b^2 = 1, există x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi) astfel încât a=cos⁡xa = \cos x și b=sin⁡xb = \sin x. Utilizând acest rezultat, rezolvați sistemul de ecuații: {sin⁡x+cos⁡y=22cos⁡x+sin⁡y=22\begin{cases} \sin x + \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} pentru x,y∈[0,2π)x, y \in [0, 2\pi).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observați că a2+b2=1a^2 + b^2 = 1 implică faptul că punctul (a,b)(a,b) se află pe cercul unitate, deci există x∈[0,2π)x \in [0, 2\pi) astfel încât a=cos⁡xa = \cos x și b=sin⁡xb = \sin x, deoarece funcțiile cos⁡\cos și sin⁡\sin parametrizează cercul.
23 puncte
Pentru sistem, notați u=sin⁡xu = \sin x, v=cos⁡yv = \cos y, w=cos⁡xw = \cos x, t=sin⁡yt = \sin y. Din sistem, adunați ecuațiile: sin⁡x+cos⁡x+sin⁡y+cos⁡y=2\sin x + \cos x + \sin y + \cos y = \sqrt{2}. Folosiți identitatea sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) pentru a obține sin⁡(x+π4)+sin⁡(y+π4)=1\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + \sin\left(y + \frac{\pi}{4}\right) = 1.
35 puncte
Scădeți ecuațiile inițiale: cos⁡x−sin⁡x=sin⁡y−cos⁡y\cos x - \sin x = \sin y - \cos y, care se poate rescrie ca 2sin⁡(π4−x)=2sin⁡(y−π4)\sqrt{2} \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sqrt{2} \sin\left(y - \frac{\pi}{4}\right). Rezolvați ecuațiile trigonometrice: din adunare, obțineți sin⁡(x+π4)=1−sin⁡(y+π4)\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 - \sin\left(y + \frac{\pi}{4}\right) și din scădere, sin⁡(π4−x)=sin⁡(y−π4)\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \sin\left(y - \frac{\pi}{4}\right). Analizați cazurile pentru sinus și găsiți soluțiile: x=π4,y=π4x = \frac{\pi}{4}, y = \frac{\pi}{4} sau x=5π4,y=5π4x = \frac{5\pi}{4}, y = \frac{5\pi}{4}, verificând în sistem.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.