MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie zz un număr complex astfel încât z+z‾=4z + \overline{z} = 4 și z⋅z‾=13z \cdot \overline{z} = 13. Să se determine zz și apoi să se calculeze z4+z‾4z^4 + \overline{z}^4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Atunci z‾=a−bi\overline{z} = a - bi. Din z+z‾=4z + \overline{z} = 4 obținem 2a=42a = 4, deci a=2a = 2. Din z⋅z‾=13z \cdot \overline{z} = 13 obținem a2+b2=13a^2 + b^2 = 13. Cu a=2a=2, avem 4+b2=134 + b^2 = 13, deci b2=9b^2 = 9, b=±3b = \pm 3. Astfel, z=2+3iz = 2 + 3i sau z=2−3iz = 2 - 3i.
23 puncte
Calculăm z4+z‾4z^4 + \overline{z}^4. Folosim identitatea z4+z‾4=(z2+z‾2)2−2z2z‾2z^4 + \overline{z}^4 = (z^2 + \overline{z}^2)^2 - 2z^2\overline{z}^2. Avem z2+z‾2=(z+z‾)2−2zz‾=42−2⋅13=16−26=−10z^2 + \overline{z}^2 = (z + \overline{z})^2 - 2z\overline{z} = 4^2 - 2 \cdot 13 = 16 - 26 = -10. Și z2z‾2=(zz‾)2=132=169z^2\overline{z}^2 = (z\overline{z})^2 = 13^2 = 169. Deci z4+z‾4=(−10)2−2⋅169=100−338=−238z^4 + \overline{z}^4 = (-10)^2 - 2 \cdot 169 = 100 - 338 = -238.
34 puncte
Verificare directă: pentru z=2+3iz = 2+3i, calculăm z2=(2+3i)2=4+12i+9i2=−5+12iz^2 = (2+3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = -5 + 12i. Atunci z4=(z2)2=(−5+12i)2=25−120i+144i2=25−120i−144=−119−120iz^4 = (z^2)^2 = (-5+12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i -144 = -119 -120i. Similar, z‾=2−3i\overline{z} = 2-3i, z‾2=−5−12i\overline{z}^2 = -5-12i, z‾4=(−5−12i)2=25+120i+144i2=25+120i−144=−119+120i\overline{z}^4 = (-5-12i)^2 = 25 + 120i + 144i^2 = 25 + 120i -144 = -119 + 120i. Suma z4+z‾4=(−119−120i)+(−119+120i)=−238z^4 + \overline{z}^4 = (-119 -120i) + (-119 + 120i) = -238. Același rezultat se obține pentru z=2−3iz = 2-3i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.