MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteȘiruri de numere realePrimitive
Se consideră șirul (In)n∈N(I_n)_{n \in \mathbb{N}} definit prin In=∫01xnex dxI_n = \int_{0}^{1} x^n e^{x} \, dx. Să se calculeze I0I_0 și să se demonstreze că pentru orice n≥1n \geq 1, are loc relația In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}. Apoi, să se arate că lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați I0=∫01ex dx=e−1I_0 = \int_{0}^{1} e^{x} \, dx = e - 1.
24 puncte
Folosind integrarea prin părți, cu u=xnu = x^n și dv=exdxdv = e^{x} dx, deduceți relația In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}.
33 puncte
Folosind faptul că 0≤In≤∫01xne dx=en+10 \leq I_n \leq \int_{0}^{1} x^n e \, dx = \frac{e}{n+1}, demonstrați că lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.