MediuNumere ComplexeClasa 11

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieȘiruri de numere reale
Fie z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta. a) Demonstrați că zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta) pentru orice număr natural nn. b) Folosind rezultatul de la a), calculați suma S=∑k=0ncos⁡(kθ)S = \sum_{k=0}^{n} \cos(k\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta și observăm că ∣z∣=1|z|=1, deci z−1=z‾=cos⁡θ−isin⁡θz^{-1} = \overline{z} = \cos \theta - i \sin \theta. Aplicăm formula lui de Moivre: zn=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) și z−n=cos⁡(nθ)−isin⁡(nθ)z^{-n} = \cos(n\theta) - i \sin(n\theta).
24 puncte
Adunăm zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta), ceea ce demonstrează punctul a).
33 puncte
Pentru b), exprimăm cos⁡(kθ)=12(zk+z−k)\cos(k\theta) = \frac{1}{2}(z^k + z^{-k}). Atunci S=12∑k=0n(zk+z−k)=12(∑k=0nzk+∑k=0nz−k)S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n} (z^k + z^{-k}) = \frac{1}{2} \left( \sum_{k=0}^{n} z^k + \sum_{k=0}^{n} z^{-k} \right). Folosind suma progresiei geometrice, ∑k=0nzk=1−zn+11−z\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z} și ∑k=0nz−k=1−z−(n+1)1−z−1\sum_{k=0}^{n} z^{-k} = \frac{1 - z^{-(n+1)}}{1 - z^{-1}}. Simplificând, obținem S=12(1−cos⁡((n+1)θ)−isin⁡((n+1)θ)1−cos⁡θ−isin⁡θ+1−cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)1−cos⁡θ+isin⁡θ)S = \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos((n+1)\theta) - i \sin((n+1)\theta)}{1 - \cos \theta - i \sin \theta} + \frac{1 - \cos((n+1)\theta) + i \sin((n+1)\theta)}{1 - \cos \theta + i \sin \theta} \right). După calcule, se ajunge la S=sin⁡((n+1)θ/2)cos⁡(nθ/2)sin⁡(θ/2)S = \frac{\sin((n+1)\theta/2) \cos(n\theta/2)}{\sin(\theta/2)} sau o formă similară, în funcție de simplificări.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.