MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeGrupuri
Pe mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe se definește legea de compoziție ∘\circ prin z∘w=z+w−i⋅z⋅wz \circ w = z + w - i \cdot z \cdot w, pentru orice z,w∈Cz, w \in \mathbb{C}. a) Verificați dacă legea ∘\circ este comutativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Studiați dacă fiecare element z∈Cz \in \mathbb{C} are simetric față de această lege. d) Rezolvați ecuația z∘(1+i)=2−iz \circ (1+i) = 2-i.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, calculăm z∘w=z+w−izwz \circ w = z + w - i zw și w∘z=w+z−iwz=z+w−iwzw \circ z = w + z - i wz = z + w - i wz. Deoarece zw=wzzw = wz pentru numere complexe, avem z∘w=w∘zz \circ w = w \circ z, deci legea este comutativă.
23 puncte
Fie ee elementul neutru. Din z∘e=zz \circ e = z avem z+e−ize=z⇒e−ize=0⇒e(1−iz)=0z + e - i z e = z \Rightarrow e - i z e = 0 \Rightarrow e(1 - i z) = 0. Aceasta trebuie să fie adevărată pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}, deci ee trebuie să fie astfel încât e(1−iz)=0e(1 - i z) = 0 pentru toți zz. Dacă e≠0e \neq 0, atunci 1−iz=01 - i z = 0 pentru orice zz, ceea ce este fals. Prin urmare, e=0e = 0 este singura posibilitate. Verificăm: z∘0=z+0−iz⋅0=zz \circ 0 = z + 0 - i z \cdot 0 = z, deci e=0e=0 este element neutru.
33 puncte
Pentru un z∈Cz \in \mathbb{C}, fie z′z' simetricul, astfel încât z∘z′=0z \circ z' = 0. Atunci z+z′−izz′=0⇒z′(1−iz)=−z⇒z′=−z1−izz + z' - i z z' = 0 \Rightarrow z' (1 - i z) = -z \Rightarrow z' = \frac{-z}{1 - i z}, pentru 1−iz≠01 - i z \neq 0. Dacă 1−iz=01 - i z = 0, adică z=−iz = -i, atunci ecuația devine −i+z′−i(−i)z′=0⇒−i+z′+z′=0⇒2z′=i⇒z′=i2 -i + z' - i (-i) z' = 0 \Rightarrow -i + z' + z' = 0 \Rightarrow 2z' = i \Rightarrow z' = \frac{i}{2}, dar verificând, −i∘i2=−i+i2−i(−i)(i2)=−i2−i⋅1⋅i2=−i2+12≠0 -i \circ \frac{i}{2} = -i + \frac{i}{2} - i (-i)(\frac{i}{2}) = -\frac{i}{2} - i \cdot 1 \cdot \frac{i}{2} = -\frac{i}{2} + \frac{1}{2} \neq 0, deci pentru z=−iz = -i nu există simetric. Astfel, fiecare element z≠−iz \neq -i are simetric z′=−z1−izz' = \frac{-z}{1 - i z}, iar pentru z=−iz = -i nu există simetric.
42 puncte
Ecuația z∘(1+i)=2−iz \circ (1+i) = 2-i. Folosind legea, z+(1+i)−iz(1+i)=2−i⇒z+1+i−iz−i2z=2−i⇒z+1+i−iz+z=2−i⇒2z−iz+1+i=2−i⇒2z−iz=1−2i⇒z(2−i)=1−2i⇒z=1−2i2−iz + (1+i) - i z (1+i) = 2-i \Rightarrow z + 1 + i - i z - i^2 z = 2-i \Rightarrow z + 1 + i - i z + z = 2-i \Rightarrow 2z - i z + 1 + i = 2 - i \Rightarrow 2z - i z = 1 - 2i \Rightarrow z(2 - i) = 1 - 2i \Rightarrow z = \frac{1 - 2i}{2 - i}. Simplificăm: z=(1−2i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+i−4i−2i24+1=2−3i+25=4−3i5z = \frac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2 + i -4i -2i^2}{4+1} = \frac{2 -3i +2}{5} = \frac{4 -3i}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.