MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometriePolinoame
Determinați toate numerele complexe zz care verifică egalitatea z3=z‾z^3 = \overline{z} și reprezentați-le în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Scriem ecuația z3=z‾z^3 = \overline{z}.
21 punct
Verificăm soluția z=0z=0.
32 puncte
Pentru z≠0z \neq 0, scriem zz în forma trigonometrică: z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta).
42 puncte
Înlocuim și obținem r3(cos⁡3θ+isin⁡3θ)=r(cos⁡θ−isin⁡θ)r^3(\cos 3\theta + i\sin 3\theta) = r(\cos\theta - i\sin\theta), deci r3=rr^3 = r și cos⁡3θ+isin⁡3θ=cos⁡θ−isin⁡θ\cos 3\theta + i\sin 3\theta = \cos\theta - i\sin\theta.
52 puncte
Din r3=rr^3 = r, avem r=1r=1 (cazul r=0r=0 a fost deja considerat). Din egalitatea argumentelor, 3θ=−θ+2kπ3\theta = -\theta + 2k\pi, deci θ=kπ/2\theta = k\pi/2, k∈{0,1,2,3}k \in \{0,1,2,3\}.
62 puncte
Soluțiile sunt z=0z=0, z=1z=1, z=iz=i, z=−1z=-1, z=−iz=-i. În planul complex, acestea sunt punctele de coordonate (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (0,1)(0,1), (−1,0)(-1,0), (0,−1)(0,-1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.