MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=5x2+y2=41\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 5 \\ x^2 + y^2 = 41 \end{cases}, unde x,y>0x, y > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Stabilirea condițiilor de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0.
22 puncte
Utilizarea proprietății logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy), deci log⁡2(xy)=5\log_2(xy) = 5 care dă xy=32xy = 32.
33 puncte
Substituirea xy=32xy = 32 în a doua ecuație: x2+y2=41x^2 + y^2 = 41. Se formează expresia (x+y)2=x2+y2+2xy=41+64=105(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 41 + 64 = 105, deci x+y=105x+y = \sqrt{105} (deoarece x,y>0x,y > 0).
42 puncte
Construirea ecuației de gradul al II-lea: t2−(x+y)t+xy=0t^2 - (x+y)t + xy = 0 devine t2−105t+32=0t^2 - \sqrt{105}t + 32 = 0.
52 puncte
Calculul discriminantului: Δ=105−128=−23<0\Delta = 105 - 128 = -23 < 0, deci ecuația nu are soluții reale. Prin urmare, sistemul nu are soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.