MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R2\mathbb{R}^2 se definește legea de compoziție ∘\circ prin (a,b)∘(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \circ (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Să se verifice că această lege este asociativă și comutativă. Să se determine elementul neutru. Să se arate că această lege este izomorfă cu înmulțirea numerelor complexe, adică există o bijecție f:R2→Cf: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}, f(a,b)=a+bif(a,b) = a + bi, care păstrează operația.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Comutativitatea: (a,b)∘(c,d)=(ac−bd,ad+bc)=(ca−db,cb+da)=(c,d)∘(a,b)(a,b) \circ (c,d) = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db, cb + da) = (c,d) \circ (a,b), deci legea este comutativă. Asociativitatea: se calculează ((a,b)∘(c,d))∘(e,f)=(ac−bd,ad+bc)∘(e,f)=((ac−bd)e−(ad+bc)f,(ac−bd)f+(ad+bc)e)=(ace−bde−adf−bcf,acf−bdf+ade+bce)((a,b) \circ (c,d)) \circ (e,f) = (ac - bd, ad + bc) \circ (e,f) = ((ac - bd)e - (ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc)e) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce) și (a,b)∘((c,d)∘(e,f))=(a,b)∘(ce−df,cf+de)=(a(ce−df)−b(cf+de),a(cf+de)+b(ce−df))=(ace−adf−bcf−bde,acf+ade+bce−bdf)(a,b) \circ ((c,d) \circ (e,f)) = (a,b) \circ (ce - df, cf + de) = (a(ce - df) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df)) = (ace - adf - bcf - bde, acf + ade + bce - bdf), deci sunt egale, legea este asociativă.
22 puncte
Elementul neutru: fie (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (a,b)∘(e1,e2)=(a,b)(a,b) \circ (e_1, e_2) = (a,b). Rezultă sistemul {ae1−be2=aae2+be1=b\begin{cases} a e_1 - b e_2 = a \\ a e_2 + b e_1 = b \end{cases}. Pentru orice a,ba,b, soluția este e1=1,e2=0e_1=1, e_2=0, deci elementul neutru este (1,0)(1,0).
33 puncte
Definim f(a,b)=a+bif(a,b) = a + bi. Atunci f((a,b)∘(c,d))=f(ac−bd,ad+bc)=(ac−bd)+(ad+bc)i=(a+bi)(c+di)=f(a,b)⋅f(c,d)f((a,b) \circ (c,d)) = f(ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i = (a+bi)(c+di) = f(a,b) \cdot f(c,d).
42 puncte
Funcția ff este bijecție între R2\mathbb{R}^2 și C\mathbb{C}, iar proprietatea demonstrată arată că legea ∘\circ este izomorfă cu înmulțirea numerelor complexe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.