MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Fie progresia geometrică (yn)n≥1(y_n)_{n \ge 1} cu y1=log⁡2ay_1 = \log_2 a, y2=log⁡2by_2 = \log_2 b, și y3=log⁡28y_3 = \log_2 8, unde aa și bb sunt numere reale pozitive. Dacă y1,y2,y3y_1, y_2, y_3 sunt în progresie geometrică și y1+y2+y3=log⁡2128y_1 + y_2 + y_3 = \log_2 128, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se scriu condițiile din enunț. Din faptul că y1,y2,y3y_1, y_2, y_3 sunt în progresie geometrică, rezultă (y2)2=y1⋅y3(y_2)^2 = y_1 \cdot y_3, adică (log⁡2b)2=log⁡2a⋅log⁡28=3log⁡2a(\log_2 b)^2 = \log_2 a \cdot \log_2 8 = 3 \log_2 a. Din suma termenilor, y1+y2+y3=log⁡2128y_1 + y_2 + y_3 = \log_2 128, deci log⁡2a+log⁡2b+log⁡28=log⁡2128\log_2 a + \log_2 b + \log_2 8 = \log_2 128. Cum log⁡28=3\log_2 8 = 3 și log⁡2128=7\log_2 128 = 7, obținem log⁡2a+log⁡2b=4\log_2 a + \log_2 b = 4.
23 puncte
Se notează x=log⁡2ax = \log_2 a și y=log⁡2by = \log_2 b. Atunci sistemul devine: {x+y=4y2=3x\begin{cases} x + y = 4 \\ y^2 = 3x \end{cases}.
33 puncte
Se rezolvă sistemul. Din prima ecuație, x=4−yx = 4 - y. Înlocuind în a doua: y2=3(4−y)y^2 = 3(4 - y), deci y2+3y−12=0y^2 + 3y - 12 = 0. Se rezolvă ecuația de gradul doi: y=−3±9+482=−3±572y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{57}}{2}. Atunci x=4−yx = 4 - y. Așadar, log⁡2a=x\log_2 a = x și log⁡2b=y\log_2 b = y, deci a=2xa = 2^x și b=2yb = 2^y.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.