MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatrici
Se consideră matricea M=(x101x101x)M = \begin{pmatrix} x & 1 & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{pmatrix}, unde x∈Rx \in \mathbb{R}. a) Calculaţi determinantul matricei MM. b) Determinaţi valorile lui xx pentru care matricea MM este inversabilă. c) Pentru x=2x=2, rezolvaţi sistemul de ecuaţii liniare reprezentat de M⋅v⃗=b⃗M \cdot \vec{v} = \vec{b}, unde v⃗=(yzt)\vec{v} = \begin{pmatrix} y \\ z \\ t \end{pmatrix} şi b⃗=(10−1)\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Determinantul matricei MM se calculează astfel: det⁡(M)=x⋅∣x11x∣−1⋅∣110x∣+0⋅∣1x01∣=x(x2−1)−1(x−0)=x3−x−x=x3−2x\det(M) = x \cdot \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & x \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = x(x^2 - 1) - 1(x - 0) = x^3 - x - x = x^3 - 2x.\n
23 puncte
Matricea MM este inversabilă dacă şi numai dacă det⁡(M)≠0\det(M) \neq 0. Deci, x3−2x≠0⇒x(x2−2)≠0⇒x≠0,x≠2,x≠−2x^3 - 2x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \sqrt{2}, x \neq -\sqrt{2}.\n
34 puncte
Pentru x=2x=2, matricea MM devine M=(210121012)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Sistemul M⋅v⃗=b⃗M \cdot \vec{v} = \vec{b} este: {2y+z=1y+2z+t=0z+2t=−1\begin{cases} 2y + z = 1 \\ y + 2z + t = 0 \\ z + 2t = -1 \end{cases}. Rezolvând, din prima ecuaţie z=1−2yz = 1 - 2y. În a doua: y+2(1−2y)+t=0⇒y+2−4y+t=0⇒t=3y−2y + 2(1-2y) + t = 0 \Rightarrow y + 2 - 4y + t = 0 \Rightarrow t = 3y - 2. În a treia: (1−2y)+2(3y−2)=−1⇒1−2y+6y−4=−1⇒4y−3=−1⇒4y=2⇒y=12(1-2y) + 2(3y-2) = -1 \Rightarrow 1-2y +6y-4 = -1 \Rightarrow 4y -3 = -1 \Rightarrow 4y = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{2}. Atunci z=1−2⋅12=0z = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0 şi t=3⋅12−2=32−2=−12t = 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}. Soluţia este v⃗=(120−12)\vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.