MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie (zn)(z_n) o progresie geometrică de numere complexe, cu z1=2−iz_1 = 2 - i și suma primilor trei termeni S3=5+5iS_3 = 5 + 5i. Determinați rația qq a progresiei și termenul al patrulea z4z_4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem formula sumei pentru primii trei termeni: S3=z1+z1q+z1q2=z1(1+q+q2)=5+5iS_3 = z_1 + z_1 q + z_1 q^2 = z_1(1 + q + q^2) = 5 + 5i.
23 puncte
Înlocuim z1=2−iz_1 = 2 - i și obținem (2−i)(1+q+q2)=5+5i(2 - i)(1 + q + q^2) = 5 + 5i. Calculăm 1+q+q2=5+5i2−i1 + q + q^2 = \frac{5 + 5i}{2 - i}. Simplificăm: 5+5i2−i=(5+5i)(2+i)(2−i)(2+i)=10+5i+10i+5i24+1=10+15i−55=5+15i5=1+3i\frac{5+5i}{2-i} = \frac{(5+5i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10 + 5i + 10i + 5i^2}{4+1} = \frac{10 + 15i -5}{5} = \frac{5 + 15i}{5} = 1 + 3i.
32 puncte
Avem ecuația 1+q+q2=1+3i1 + q + q^2 = 1 + 3i, adică q2+q−3i=0q^2 + q - 3i = 0. Rezolvăm această ecuație pătratică: q=−1±1+12i2q = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12i}}{2}. Găsim 1+12i=±(3+2i)\sqrt{1+12i} = \pm(3+2i) (de exemplu, rezolvând a2−b2=1a^2 - b^2 = 1 și 2ab=122ab = 12). Astfel, q1=−1+(3+2i)2=1+iq_1 = \frac{-1 + (3+2i)}{2} = 1 + i și q2=−1−(3+2i)2=−2−iq_2 = \frac{-1 - (3+2i)}{2} = -2 - i.
42 puncte
Calculăm termenul al patrulea pentru fiecare rație: z4=z1q3z_4 = z_1 q^3. Pentru q1=1+iq_1 = 1+i, z4=(2−i)(1+i)3=(2−i)((1+i)2(1+i))=(2−i)((1+2i+i2)(1+i))=(2−i)((1+2i−1)(1+i))=(2−i)(2i(1+i))=(2−i)(2i+2i2)=(2−i)(2i−2)=(2−i)⋅2(i−1)=2(2−i)(i−1)z_4 = (2-i)(1+i)^3 = (2-i)((1+i)^2(1+i)) = (2-i)((1+2i+i^2)(1+i)) = (2-i)((1+2i-1)(1+i)) = (2-i)(2i(1+i)) = (2-i)(2i + 2i^2) = (2-i)(2i - 2) = (2-i) \cdot 2(i-1) = 2(2-i)(i-1). Dezvoltăm: 2((2−i)(i−1))=2(2i−2−i2+i)=2(2i−2+1+i)=2(3i−1)=−2+6i2((2-i)(i-1)) = 2(2i - 2 - i^2 + i) = 2(2i - 2 +1 + i) = 2(3i -1) = -2 + 6i. Pentru q2=−2−iq_2 = -2-i, calcul similar (se poate lăsa ca exercițiu suplimentar).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.