MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteDerivateMonotonie și convexitate
Fie funcția g(x)=∫1xln⁡tt dtg(x) = \int_{1}^{x} \frac{\ln t}{t} \, dt pentru x>0x > 0. Calculați g(e)g(e) și studiați monotonia funcției gg pe intervalul (0,∞)(0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a calcula g(e)=∫1eln⁡xx dxg(e) = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx, facem substituția u=ln⁡xu = \ln x, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx. Când x=1x=1, u=0u=0; când x=ex=e, u=1u=1. Integrala devine ∫01u du=[u22]01=12\int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
23 puncte
Derivata funcției gg este g′(x)=ln⁡xxg'(x) = \frac{\ln x}{x} pentru x>0x > 0, conform teoremei fundamentale a calculului integral.
33 puncte
Studiul semnului lui g′(x)g'(x): ln⁡xx>0\frac{\ln x}{x} > 0 dacă ln⁡x>0\ln x > 0, adică pentru x>1x > 1, și ln⁡xx<0\frac{\ln x}{x} < 0 dacă ln⁡x<0\ln x < 0, adică pentru 0<x<10 < x < 1. Astfel, gg este descrescătoare pe (0,1](0,1] și crescătoare pe [1,∞)[1,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.