MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiIdentități algebrice
Arătați că pentru orice matrice pătratică AA de ordinul 2 cu elemente reale, are loc egalitatea det⁡(A+I)+det⁡(A−I)=2(det⁡A+1)\det(A+I) + \det(A-I) = 2(\det A + 1), unde II este matricea unitate. Aplicați acest rezultat pentru a găsi toate matricele XX care satisfac X2=(1004)X^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Fie A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Atunci det⁡(A+I)=det⁡(a+1bcd+1)=(a+1)(d+1)−bc=ad+a+d+1−bc\det(A+I) = \det \begin{pmatrix} a+1 & b \\ c & d+1 \end{pmatrix} = (a+1)(d+1) - bc = ad + a + d + 1 - bc. det⁡(A−I)=det⁡(a−1bcd−1)=(a−1)(d−1)−bc=ad−a−d+1−bc\det(A-I) = \det \begin{pmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{pmatrix} = (a-1)(d-1) - bc = ad - a - d + 1 - bc. Sumând, det⁡(A+I)+det⁡(A−I)=2ad−2bc+2=2(det⁡A+1)\det(A+I) + \det(A-I) = 2ad - 2bc + 2 = 2(\det A + 1), unde det⁡A=ad−bc\det A = ad - bc.
23 puncte
Pentru matricea XX cu X2=DX^2 = D, unde D=(1004)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}, avem det⁡(X2)=det⁡D=4\det(X^2) = \det D = 4, deci (det⁡X)2=4(\det X)^2 = 4 și det⁡X=±2\det X = \pm 2. Aplicând egalitatea pentru A=XA = X, obținem det⁡(X+I)+det⁡(X−I)=2(det⁡X+1)=2(±2+1)\det(X+I) + \det(X-I) = 2(\det X + 1) = 2(\pm 2 + 1), care poate fi utilizat pentru verificare, dar nu direct pentru găsirea lui XX.
33 puncte
Notăm X=(xyzw)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}. Din X2=DX^2 = D, avem sistemul: x2+yz=1x^2 + yz = 1, xy+yw=0xy + yw = 0, xz+zw=0xz + zw = 0, yz+w2=4yz + w^2 = 4. Din xy+yw=y(x+w)=0xy + yw = y(x+w) = 0 și xz+zw=z(x+w)=0xz + zw = z(x+w) = 0, deci dacă x+w≠0x+w \neq 0, atunci y=0y=0 și z=0z=0, iar din x2=1x^2=1 și w2=4w^2=4 rezultă x=±1x=\pm1, w=±2w=\pm2. Dacă x+w=0x+w=0, atunci w=−xw=-x, și din x2+yz=1x^2 + yz =1 și yz+(−x)2=yz+x2=4yz + (-x)^2 = yz + x^2 =4 se obține 1−x2=4−x21-x^2=4-x^2, imposibil. Astfel, soluțiile sunt X=(1002)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, (100−2)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}, (−1002)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, (−100−2)\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.