MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Pe mulțimea M2(R)M_2(\mathbb{R}) a matricilor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale, se definește legea de compoziție A∘B=A+B−ABA \circ B = A + B - AB. a) Verificați dacă legea este comutativă. b) Determinați elementul neutru al acestei legi, dacă există. c) Rezolvați ecuația X∘A=BX \circ A = B, unde A=(1201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și B=(3412)B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea. Pentru două matrice AA și BB, avem A∘B=A+B−ABA \circ B = A + B - AB și B∘A=B+A−BAB \circ A = B + A - BA. În general, AB≠BAAB \neq BA, deci legea nu este comutativă. De exemplu, luăm A=(1000)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B=(0100)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}; atunci A∘B=(1100)A \circ B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} și B∘A=(0100)B \circ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, diferite.
23 puncte
Căutăm elementul neutru EE astfel încât A∘E=AA \circ E = A pentru orice A∈M2(R)A \in M_2(\mathbb{R}). A∘E=A+E−AE=A⇒E−AE=0⇒E(I−A)=0A \circ E = A + E - AE = A \Rightarrow E - AE = 0 \Rightarrow E(I - A) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice AA, trebuie E=02×2E = 0_{2 \times 2}, matricea nulă. Verificăm: A∘0=A+0−A⋅0=AA \circ 0 = A + 0 - A \cdot 0 = A, deci 00 este elementul neutru.
35 puncte
Rezolvăm ecuația X∘A=BX \circ A = B, adică X+A−XA=BX + A - XA = B. Rearanjăm: X−XA=B−A⇒X(I−A)=B−AX - XA = B - A \Rightarrow X(I - A) = B - A. Calculăm I−A=(1001)−(1201)=(0−200)I - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. B−A=(3412)−(1201)=(2211)B - A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Ecuația devine X(0−200)=(2211)X \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Fie X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Atunci X(0−200)=(abcd)(0−200)=(0−2a0−2c)X \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2a \\ 0 & -2c \end{pmatrix}. Egaleazăm cu (2211)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, deci obținem sistemul: {0=2−2a=20=1−2c=1\begin{cases} 0 = 2 \\ -2a = 2 \\ 0 = 1 \\ -2c = 1 \end{cases}. Acest sistem este incompatibil (deoarece 0=20 = 2 și 0=10 = 1 sunt false), deci nu există o matrice XX care să satisfacă ecuația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.