MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmi
Termenii pozitivi ai unei progresii geometrice (bn)(b_n) satisfac condițiile: ln⁡(b1)+ln⁡(b3)=2ln⁡(b2)\ln(b_1) + \ln(b_3) = 2 \ln(b_2) și b1+b2+b3=14b_1 + b_2 + b_3 = 14. În plus, produsul b1⋅b2⋅b3=64b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 64. Determinați primul termen b1b_1 și rația qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din condiția cu logaritmi, ln⁡(b1)+ln⁡(b3)=2ln⁡(b2)\ln(b_1) + \ln(b_3) = 2 \ln(b_2), folosind proprietățile logaritmilor, obținem ln⁡(b1b3)=ln⁡(b22)\ln(b_1 b_3) = \ln(b_2^2), deci b1b3=b22b_1 b_3 = b_2^2. Aceasta confirmă că (bn)(b_n) este o progresie geometrică.
23 puncte
Notăm b1=ab_1 = a, b2=aqb_2 = aq, b3=aq2b_3 = aq^2. Atunci, din b1+b2+b3=14b_1 + b_2 + b_3 = 14 avem a(1+q+q2)=14a(1 + q + q^2) = 14, iar din b1⋅b2⋅b3=64b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = 64 avem a3q3=64a^3 q^3 = 64.
32 puncte
Din a3q3=64a^3 q^3 = 64, deoarece termenii sunt pozitivi, rezultă aq=4aq = 4, adică b2=4b_2 = 4.
42 puncte
Înlocuim b2=4b_2 = 4 în suma: b1+4+b3=14b_1 + 4 + b_3 = 14, deci b1+b3=10b_1 + b_3 = 10. Dar b3=b1q2b_3 = b_1 q^2 și b2=b1q=4b_2 = b_1 q = 4, deci q=4/b1q = 4/b_1. Substituim în b1+b3=10b_1 + b_3 = 10: b1+b1(4/b1)2=10b_1 + b_1 (4/b_1)^2 = 10, adică b1+16/b1=10b_1 + 16/b_1 = 10. Rezolvăm ecuația b12−10b1+16=0b_1^2 - 10b_1 + 16 = 0, cu soluțiile b1=2b_1 = 2 sau b1=8b_1 = 8. Pentru b1=2b_1 = 2, q=4/2=2q = 4/2 = 2; pentru b1=8b_1 = 8, q=4/8=1/2q = 4/8 = 1/2. Ambele soluții satisfac condițiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.