MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie (zn)(z_n) o progresie geometrică de numere complexe cu z1=3+4iz_1 = 3 + 4i și z3=−7+24iz_3 = -7 + 24i. Determinați rația qq și calculați ∣z10∣|z_{10}|, unde ∣⋅∣| \cdot | este modulul numărului complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condiția z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2, deci −7+24i=(3+4i)⋅q2-7 + 24i = (3 + 4i) \cdot q^2. Rezolvăm pentru q2q^2: q2=−7+24i3+4iq^2 = \frac{-7 + 24i}{3 + 4i}. Simplificăm prin înmulțirea cu conjugatul: q2=(−7+24i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=75+100i25=3+4iq^2 = \frac{(-7 + 24i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{75 + 100i}{25} = 3 + 4i.
23 puncte
Găsim qq astfel încât q2=3+4iq^2 = 3 + 4i. Scriem q=a+biq = a + bi și rezolvăm sistemul {a2−b2=32ab=4\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}. Obținem soluțiile q=2+iq = 2 + i sau q=−2−iq = -2 - i.
33 puncte
Calculăm ∣z10∣=∣z1∣⋅∣q∣9|z_{10}| = |z_1| \cdot |q|^9, deoarece ∣zn∣=∣z1∣⋅∣q∣n−1|z_n| = |z_1| \cdot |q|^{n-1}. ∣z1∣=32+42=5|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, ∣q∣=22+12=5|q| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} pentru q=2+iq = 2+i (sau similar pentru cealaltă soluție, dar modulul este același). Deci ∣z10∣=5⋅(5)9=5⋅59/2=511/2=31255|z_{10}| = 5 \cdot (\sqrt{5})^9 = 5 \cdot 5^{9/2} = 5^{11/2} = 3125\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.